دراسة المنحنيات الاهليلجية

Abstract

تعرف في بداية هذا البحث المنحنيات الاهليلجية ثم ندرس قانون الجمع المعرف على نقاط هذا المنحني والزمرة التبديلية التي تشكلها هذه النقاط ثم بعض الخواص والصفات الأساسية لهذه المنحنيات. ثم نعرض وبشكل مختصر المنحنيات الاهليلجية المعرفة فوق الحقل Qوزمرة هذه المنحنيات ونظرية Mordell التي تقدم لنا وصف لهذه الزمرة كذلك المنحنيات الاهليلجية المعرفة فوق حقل الأعداد العقدية وعلاقة هذه المنحنيات بالطارة ثم ندرس المنحنيات الاهليلجية فوق الحقول المنتهية F وبشكل خاص زمرة هذه المنحنيات, سنعرض نظرية هاس التي تعطينا حداً أعلى لعدد نقاط هذه الزمرة ثم بعض الطرق التي تحسب لنا قدرة هذه الزمرة بشكل محدد أكثر وأهم هذه الطرق هي خوارزمية Schoof (1985) والتي تعمل بسرعة من أجل و كبيرة ثم سنتعرف على المنحنيات supersingular ثم بشكل خاص ندرس جمع نقطتين باستخدام عدة احداثيات وذلك من أجل منحنيات supersingular معرفة فوق حقول مميزها يساوي 2 أو 3 ونقوم بتوسيع هذه الدراسة من أجل منحنيات عادية معرفة فوق تلك الحقول إضافة إلى حقول مميزها لايساوي 2 أو 3 أيضاً ندرس بإيجاز المنحنيات الاهليلجية pairing-friendly ونورد بعض الخوارزميات لحساب هذه المنحنيات وأهم هذه الطرق هي طريقة Brezing-Weng حيث تقدم تعديل من خلال هذه الخوارزمية لنحصل على خوارزمية أسرع الحساب أسرة المنحنيات الاهليلجية pairing-friendly وفي النهاية سندرس تطبيقين للمنحنيات الاهليلجية وهما تحليل عدد صحيح ما إلى عوامله الأولية واختبار أولية عدد صحيح معطى باستخدام هذه المنحنيات تذكر بأن الحقل F في هذه الدراسة حقل مغلق جبرياً ما لم يذكر عكس ذلك.