دراسة حول شبكات الزمر والتماثلات بين هذه الشبكات

Abstract

إن الهدف الأساسي لنتاجنا العلمي هو ترسيخ وتعبيد الطريق امامنا في دراسة نظرية الزمر باستخدام نظرية الشبكات وذلك عن طريق استخدام تعاريف ومبرهنات شبكية لهذا الغرض. يتألف هذا البحث من أربعة فصول كان الفصل الأول تمهيدا لدراسة الفصول المتبقية، كما أن الفصل الثاني كان حجر الأساس للفصل الثالث وللبحث عموما أما الفصل الرابع فيعد من أهم مميزات هذا البحث لما يحويه من نتائج ترفع من شأن هذا البحث : الفصل الأول : مفاهيم اساسية حول نظرية الزمر والشبكات ذكرنا ببعض المفاهيم الأساسية والمطلوبة لدراستنا والتي سنحتاجها بشكل مباشر أو غير مباشر بدءً من الزمرة الناظمية الى الزمر القابلة للحل وعديمة القوى والبسيطة والزمر البدائية التبديلية وغير التبديلية وقمنا بدراسة تفصيلية حول زمر شهيرة ومتنوعة حيث كان لتنوعها دور مهم لتبيان كيف يمكن إيجاد شبكة الزمر الجزئية لتلك الزمر ومن ثم شبكة الزمر الناظمية. قدمنا أيضاً تعاريف شبكية مثل: الشبكة ، التماثل الشبكي ، الشبكة المعيارية ، الشبكة التوزيعية ، الشبكة شبه المتممة ، الشبكة القابلة للاستبدال وغيرها ودرسنا مبرهنات شبكية منها ما يربط مفاهيم شبكية ببعضها وكان ذلك تمهيداً لوصف الزمرة انطلاقاً من هذه المفاهيم. الفصل الثاني: شبكات الزمر تم في هذا الفصل بناء شبكة الزمر الجزئية وذكر بعض الخواص التي تتمتع بها في الحالة العامة للزمرة وعملنا جاهدين على ذكر أمثلة عدة بشكل مفصل الزمر متنوعة بغية أن نتمكن من إيجاد شبكة الزمر الجزئية دون صعوبة. كما تم في هذا الفصل بناء شبكة الزمر الجزئية الناظمية وذكر بعض الخواص التي تتمتع بها في الحالة العامة للزمرة وذكر العلاقة بينها وبين شبكة الزمر الجزئية وذكرنا أمثلة تمكنا من خلالها وضع اليات عدة لمعرفة الزمر الجزئية الناظمية والزمر الجزئية التي ليست ناظمية وإيجاد هذه الشبكة انطلاقا من شبكة الزمر الجزئية دون الرجوع للزمرة. الفصل الثالث: دراسة الزمرة انطلاقا من شبكتيها يتمحور هذا الفصل حول تصنيف الزمر في صفوف انطلاقاً من مفاهيم شبكية بغية الاستفادة قدر الإمكان من هذه المفاهيم في وصف الزمرة وربط بنية الزمرة بينية شبكتي الزمر الموافقة لها. الفصل الرابع: دراسة حول تماثلات شبكات الزمر تتركز هذه الدراسة حول النقاط التالية: .1 دراسة بعض الخواص التي يحافظ عليها التماثل الشبكي في الحالة العامة للزمر المدروسة 2 دراسة بعض الخواص التي لا يحافظ عليها التماثل الشبكي ثم بعد ذلك اضافة شروط ليتمكن التماثل الشبكي من الحفاظ على هذه الخواص 3 تبيان أن القضية = = () () غير صحيحة بالحالة العامة ودراسة صحتها بعد اضافة شروط . حيث تعد النقطتان الأولى والثانية تمهيدا وتسهيلا لهذه الدراسة . وهنا كان لنا دور في ابتكار شروط جديدة تجعل من هذه القضية قضية صحيحة . ولذا يمكن تقسيم هذه النقطة إلى بندين: بعض من مساهمات العلماء في هذه الدراسة بناء شروط جديدة على القضية المدروسة للوصول إلى الهدف المنشود.