دراسة حول الجيوديزيات في الهندسة تحت الريمانية

Abstract

يقع بحثنا ضمن مجال الهندسة الريمانية ويتحدث عن أهم المفاهيم فيها و هي الجيوديزيات في متنوع ريماني، قد درست الجيوديزيات في الهندسة الريمانية بشكل مفصل وتبين أنها من الصف C ، و توجه الاهتمام في بحثنا هذا نحو دراسة مشابهة للجيوديزيات في الهندسة الريمانية جزئياً (تحت الريمانية) وتعرض حالة التشابه والاختلاف بينها وبين الهندسة الريمانية من حيث نوع الجيوديزيات الناتجة غير الموجودة في الحالة الريمانية ومسألة كون هذه الجيوديزيات من الصف C، التي لا تزال مسألة مفتوحة حتى الآن. كان أسلوبنا في البحث تقليدياً نظرياً، واستنتاجياً كمعظم الأبحاث في الرياضات البحثة. تحتوي هذه الرسالة أربعة فصول نلخصها كما يأتي: في الفصل الأول قدمنا التعاريف الأساسية في الهندسة التفاضلية والريمانية كالمتنوع الأملس والفضاء المماس والفضاء الثنوي للفضاء المماس، والحقول المتجهية، والأشكال التفاضلية، وقوس (جداء) لي. في الفصل الثاني عرضنا البنية الريمانية جزئياً، الممثلة بتوزيع D ومترك ريماني جزئياً وشرحنا فيها أنواع التوزيعات وكموليتها من خلال الأمثلة المناسبة. في الفصل الثالث درسنا صيغة هاملتون والجيوديزيات الهاملتونية وصيغة لاغرائج وحلول معادلة أولر - لا غرائج مقدمين وصفاً للجيوديزيات الناتجة والعلاقة بينهما، وأيضا الفرق بين الحالتين الريمانية والريمانية جزئياً. في الفصل الرابع ذكرنا بزمرة لي، وقدمنا بعض الأمثلة عن زمر لي كونها متنوعا ريمانيا جزئيا وطبقنا معادلات هاملتون وأولر لا غرائج على الزمرة 53، كما أوردنا بعض المبرهنات حول نظامية الجيوديزيات في المتنوعات الريمانية جزئياً. استطعنا من خلال هذا البحث جمع معظم الدراسات عن موضوعنا، ما يجعل رسالتنا مرجعاً مهماً، ومفيداً للباحثين وطلاب الدراسات العليا المهتمين بهذا المجال، على الرغم من عدم تمكننا من إيجاد نتائج جديدة ، وهذا ما كنا نأمله فإننا تحت الباحثين على متابعة البحث في هذا المجال لما للجيوديزيات الريمانية جزئياً من تطبيقات هامة..كلمات مفتاحية: المتنوع (Manifold) المتنوع الجزئي (Sub - Manifold) التوزيع (Distribution)، المتنوع الريماني )Geodesics( الجيوديزيات Sub - Riemannian manifold( جزئيا MSC: رقم التصنيف العالمي الرياضياتي 53017: Sub-Riemannian Geometry