دراسة حول انتظامية الجيوديزيات في الهندسة

Abstract

درست في هذه الرسالة انتظامية الجيوديزيات في متنوعات تفاضلية مزودة بمتريات ذات انتظامية منخفضة، وقدمت دراسة لكيفية تزويد فضاء بمترية منخفضة الانتظامية، والتحدث عن الانتظامية للجيوديزيات في ذلك الفضاء. ضمت الدراسة أربعة فصول هي: الفصل الأول: قدمت فيه كل التعاريف والمفاهيم والمبرهنات في فضاءات الدوال الهولدرية، وفي الهندسة الريمانية التي تلزمنا في دراسة الجيوديزيات من حيث وجودها ووحدانيتها وانتظاميتها. الفصل الثاني: جمعنا فيه الجيوديزيات في المتنوعات الريمانية ذات الانتظامية المثلى، أي المزودة بمتريات ملساء من الصف (C)، فقد تحدثنا عن تعريف الجيوديزي، وعن مبرهنات الوجود والوحدانية والانتظامية للجيوديزيات، وعلاقة هذه الجيوديزيات بأصغريات دالتي الطول والطاقة، وأعطينا أمثلة عن الجيوديزيات في هذه الحالة، وختمنا الفصل ببيان أن الجيوديزيات في حالة المتريات الملساء ستكون ملساء. الفصل الثالث: درست فيه الجيوديزيات في انتظامية منخفضة، إذ عرضنا فيه متنوعات تفاضلية مزودة بمتريات ذات انتظامية منخفضة ( أقل من الصف (C)، وبينا كيف عرف الجيوديزي في مثل هذه المتنوعات، ولاسيما عندما لا يكون بإمكاننا إيجاد رموز كريستوفل، إذ لا معنى لمعادلة الجيوديزي في الحالة التي تكون فيها المترية أقل تماماً من C، ودرسنا بعض مبرهنات الوجود والوحدانية والانتظامية للجيوديزيات في هذه الحالة، وختم الفصل بأمثلة عن الجيوديزيات في هذه الحالة أيضاً. الفصل الرابع والأخير : درسنا بنى على فضاءات تبولوجية تسمى بنى الطول، ورأينا كيف يعرف الجيوديزي بعد تزويد هذه الفضاءات بمتربة.