دراسة دالة غرين لمسألة قيم حدية لمعادلة تفاضلية من المرتبة الرابعة على البيان الهندسي

Abstract

قدمنا في هذه الأطروحة دراسة لوجود ووحدانية حل مسألة القيم الحدية المعادلة تفاضلية عادية خطية متجانسة من المرتبة الرابعة مقرونة بشروط حدية عند نقاط مثبتة على بيان هندسي، إضافة إلى شروط ارتباط غير مرن عند نقاط التقاء القضبان مع بعضها والتي تصف الاهتزازات المرنة لجملة قضبان مرتبطة مع بعضها على شكل بيان هندسي)، كما استطعنا أيضاً دراسة إشارة معاملات مسألة القيم الحدية لمعادلة تفاضلية عادية غير متجانسة على بيان هندسي وذلك بعد نقل دراسة مسألة قيم حدية لمعادلة تفاضلية عادية غير متجانسة من المرتبة الرابعة مقرونة بشروط حدية على بيان هندسي يحوي حلقة إلى دراسة هذه المسألة على أحد الأضلاع الداخلية أو الحدية لهذا البيان ( طريقة التخفيض)، وذلك بفرض أن الطرف الأيمن للمعادلة التفاضلية المدروسة يكون مطابقاً للصفر على بيان جزئي من البيان الأصلي. حيث تسمح هذه الطريقة بالتعبير عن أي دالي لحلول المسألة المدروسة على البيان الجزئي على شكل تركيب خطي لقيم هذه الحلول ومشتقاتها. مما يجنب الاهتمام بدراسة مسألة القيم الحدية على ذلك البيان الجزئي، والانتقال إلى دراسة مسألة القيم الحدية متعددة النقطية على ما تبقى من البيان مع الشروط المعاد ترتيبها. وتطلب ذلك دراسة إشارة بعض معاملات الشروط الحدية للمسألة الناتجة عن هذا الانتقال والعلاقات بين هذه المعاملات، وهذا العمل ساعدنا في إثبات وجود ووحدانية الحل لمسألة القيم الحدية الناتجة عن هذا الانتقال وكذلك استطعنا بناء دالة غرين معتمدين على دراسة مشابهة في حالة بيان شجرة. انتقلنا بعد ذلك إلى إيجاد الحل التحليلي ثم العددي، ويعود اهتمامنا بالحل العددي لأنه يصعب إيجاد الحل التحليلي أحياناً، استطعنا أيضاً إيجاد خوارزمية عددية لحل مثل هذه المسائل باستخدام طريقة العناصر المنتهية حيث اعتبرنا دوال الشكل هي حدوديات ب-سبلاين من الدرجة الخامسة (QBSCM)، حيث استطعنا الوصول إلى نتائج جيدة وبكلفة برمجية مقبولة، هذا وقمنا بإيجاد جميع الحلول العددية ورسم الدوال والجداول الموافقة لهذه الحلول باستخدام برنامج 10 Mathematica.